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L'axiome du choix

Dans le polycopié vous avez la présentation des axiomes de la théorie des ensembles et ceux retenus par B.
Parmi les axiomes, il y a l'axiome du choix.
Il dit que si on dispose d'un ensemble d'ensembles non vides et disjoints deux à deux, par exemple l'ensemble des groupes de première année (je rappelle qu'un étudiant ne peut être membre de plus d'un groupe), alors on peut constituer un ensemble en prenant un élément dans chacun des ensembles.
Ca paraît étonnant de devoir avoir un tel axiome.
On trouvait étonnant aussi de devoir avoir l'axiome des parallèles ...
On en a eu besoin quand on s'est rendu compte qu'avec les autres axiomes, on ne pouvait prouver qu'on pouvait bien constituer ...
Alors on a proposé l'axiome du choix. C'est Ernst Zermelo qui l'a introduit en 1904.
Paul Cohen a prouvé en 1963 qu'il est impossible de déduire l'axiome du choix des autres axiomes.

"L'imbécile croit qu'il

n'existe aucun ensemble vide. Mais s'il en était ainsi, alors l'ensemble de tous les ensembles vides serait vide, et par conséquent, cet ensemble serait l'ensemble vide"

Van Fraasen, rédacteur en chef du Journal de logique philosophique cité par Boulanger et Cohen, p. 301

Au fait, en B il y a plusieurs ensembles vides.

Exemples :

SETS
COURS, PROF
VARIABLES
coursOuverts, profsEnPoste, enseignePar
INVARIANT
coursOuverts <: COURS &
profsAffectes <: PROFS &
enseignePar : coursOuverts +-> profsEnPoste
INITIALISATION
coursOuverts, profsEnPoste, enseignePar := {}, {}, {}

Je NE peux écrire que suite à cette initialisation :

coursOuverts = profsEnPoste &
enseignePar = profsEnPoste

Voir le concept d'ensemble de base (SETS).