Variables. Danger !

Variables, en maths, en informatique. Halte à la confusion !

extrait d'un livre de logique :

« mettre en garde le lecteur contre une interprétation du mot "variable" qui est encore assez répandue, mais qu'il doit bannir de sa pensée. (…)
Nous formalisons l'énoncé suivant :
Si le produit de deux nombres réels quelconques est nul, alors l'un de ces nombres est nul. (1)
en écrivant :

All x All y [(x.y = 0) ? (x = 0 ou y = 0) ]. (2)
Plus d'un lecteur, sans doute, se serait contenté d'écrire
(x . y = 0) ? (x = 0 ou y = 0), (3)
sans quantificateurs. Cela provient, nous semble-t-il, d'une "ancienne version" de la notion de variable, encore assez répandue. Selon cette interprétation, les variables x et y de la proposition(3) désignent — par définition du mot "variable" — des nombres quelconques, donc l'adjectif "quelconques" qui figure dans l'énoncé (1) est déjà traduit dans l'usage de variables x et y dans (3). L'adjonction de quantificateurs, comme dans (2), ne paraît certainement pas fausse, mais en tout cas superflue.
C'est ce sens du mot "variables" que le lecteur de cet ouvrage doit bannir de sa pensée. Le sens qui subsistera est un autre sens, que l'on rencontre aussi et même plus fréquemment que le premier, dans les textes mathématiques. Considérons par exemple les phrases suivantes, que l'on pourrait rencontrer dans un manuel de géométrie.
Soient x et y les longueurs des côtés du triangle rectangle ABC, et z la longueur de l'hypothénuse. On a
z2 = x2 + y2. (4)
Il est clair que dans ce contexte, les variables x, y, z de l'équation (4) n'ont rien de "variable". Elles désignent des nombres particuliers, que l'on ne connaît peut-être pas, mais particuliers tout de même. D'ailleurs l'adjonction de quantificateurs universels All x All y All z à (4) n'entre pas en considération. Elle ne serait pas superflue, mais simplement fausse.
(…)
En lisant une proposition sans quantificateurs telle que (3), le lecteur doit donc s'habituer à considérer les variables qu'elle contient comme désignant des objets particuliers, même s'il ne possède aucune autre information sur ces objets. Le sens des propositions (2) et (3) n'est donc pas le même et les quantificateurs de la première sont indispensables pour traduire (1) » [ZAH 98]